kaoyan1basic 高等数学 第648题
📝 题目
### 第648题 在力场 $\displaystyle \boldsymbol{F}=\frac{y^{3} \boldsymbol{i}-x^{3} \boldsymbol{j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 的作用下，一质点沿圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ 逆时针运动一圈所做的功为 （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{3 \pi}{2}$ ． （C）$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{3 \pi}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：功$\displaystyle W=\oint_L \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\oint_L \frac{y^3\mathrm{d}x-x^3\mathrm{d}y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$L:x^2+y^2=1$，逆时针。 步骤2：在$L$上$\sqrt{x^2+y^2}=1$，故$W=\oint_L y^3\mathrm{d}x-x^3\mathrm{d}y$。 步骤3：由格林公式，$P=y^3$，$Q=-x^3$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=-3x^2$，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=3y^2$，差值为$-3x^2-3y^2=-3(x^2+y^2)$。 步骤4：$\displaystyle W=\iint_{x^2+y^2\le1}(-3(x^2+y^2))\mathrm{d}\sigma=-3\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1 r^2\cdot r\mathrm{d}r=-3\cdot2\pi\cdot\frac{1}{4}=-\frac{3\pi}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆