kaoyan1basic 高等数学 第651题
📝 题目
### 第651题 下列曲线积分 （1） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ． （2） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ． （3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ． （4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ． 中，在平面 $D: x^{2}+y^{2}>0$ 上与路径无关的有 （A） 1 个． （B） 2 个． （C） 3 个． （D） 4 个．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：曲线积分与路径无关等价于$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$在单连通区域内成立。 步骤2：(1)$\displaystyle P=-\frac{y}{x^2+y^2}$，$\displaystyle Q=\frac{x}{x^2+y^2}$，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$，相等，但原点不包含在单连通区域内，故在$D$上（除去原点）与路径无关。 步骤3：(2)$\displaystyle P=\frac{x}{x^2+y^2}$，$\displaystyle Q=\frac{y}{x^2+y^2}$，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$，相等，与路径无关。 步骤4：(3)$\displaystyle P=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$\displaystyle Q=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}$，相等，与路径无关。 步骤5：(4)$\displaystyle P=\frac{y}{x^2+y^2}$，$\displaystyle Q=\frac{x}{x^2+y^2}$，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$，互为相反数，不相等，与路径有关。 步骤6：与路径无关的有3个。 **难度**：★★★☆☆