kaoyan1basic 高等数学 第652题
📝 题目
### 第652题 设曲线 $L: f(x, y)=1(f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数），过第 II 象限内的点 $M$ 和第 IV 象限内的点 $N, \Gamma$ 为 $L$ 上从点 $M$ 到点 $N$ 的一段弧，则下列积分小于零的是 （A） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （B） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s$ ． （D） $\int_{\Gamma} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$L$上$f(x,y)=1$，故$\int_\Gamma f(x,y)\mathrm{d}x=\int_\Gamma \mathrm{d}x$，$\int_\Gamma f(x,y)\mathrm{d}y=\int_\Gamma \mathrm{d}y$，$\int_\Gamma f(x,y)\mathrm{d}s=\int_\Gamma \mathrm{d}s>0$。 步骤2：点$M$在第II象限（$x<0,y>0$），点$N$在第IV象限（$x>0,y<0$），从$M$到$N$，$x$增加，$\int_\Gamma \mathrm{d}x>0$；$y$减小，$\int_\Gamma \mathrm{d}y<0$。 步骤3：对于D，$f_x'\mathrm{d}x+f_y'\mathrm{d}y=\mathrm{d}f=0$（因$f=1$常数），积分为0。 步骤4：小于零的只有$\int_\Gamma f(x,y)\mathrm{d}y$。 **难度**：★★★☆☆