kaoyan1basic 高等数学 第653题

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📝 题目

### 第653题 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 上半部分的上侧，则下列结论不正确的是 （A） $\iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． （B） $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． （C） $\iint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． （D） $\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． 答题 区

💡 答案解析

**答案**：C **解析**： 步骤1：$\Sigma$为上半球面上侧，投影到$yOz$平面需分前后。 步骤2：A：$\iint_\Sigma x^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z$，被积函数$x^2\ge0$，但曲面关于$yOz$平面对称，前侧和后侧投影面积相等但方向相反，积分值为0，正确。 步骤3：B：$\iint_\Sigma x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$，$x$为奇函数，对称性得0，正确。 步骤4：C：$\iint_\Sigma y^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z$，$y^2$为偶函数，但曲面在$yOz$平面投影不是对称区域？实际上，上半球面在$yOz$平面投影为圆$y^2+z^2\le R^2$，但$y^2$非负，积分不为0。计算：$\displaystyle \iint_\Sigma y^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iint_{D_{yz}} y^2\cdot\frac{x}{\sqrt{R^2-y^2-z^2}}\mathrm{d}y\mathrm{d}z$（取正），不为0，故C不正确。 步骤5：D：$\iint_\Sigma y\mathrm{d}y\mathrm{d}z$，$y$为奇函数，积分0，正确。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：分析曲面Σ的性质
Σ为上半球面x^2+y^2+z^2=R^2的上侧，即z≥0部分，方向为上侧。在yOz平面投影为圆域D: y^2+z^2≤R^2，但曲面需分为前侧（x>0）和后侧（x<0）两部分，因为x=±√(R^2-y^2-z^2)。
提示：注意曲面投影到yOz平面时，x有正负，需考虑方向。
步骤 2/5
目标：判断选项A
∬_Σ x^2 dy dz，被积函数x^2≥0，但曲面关于yOz平面对称，前侧和后侧投影面积相等但方向相反（前侧法向量与x轴正向夹角锐角，后侧钝角），积分值抵消为0，故A正确。
公式：∬_Σ x^2 dy dz = ∬_{D_{yz}} (x^2|_{x>0} - x^2|_{x<0}) dy dz = 0
提示：利用对称性和方向相反。
步骤 3/5
目标：判断选项B
∬_Σ x dy dz，x为奇函数，曲面关于yOz平面对称，前侧和后侧x值相反，方向相反，积分抵消为0，故B正确。
公式：∬_Σ x dy dz = ∬_{D_{yz}} (x|_{x>0} - x|_{x<0}) dy dz = 0
提示：奇函数对称性。
步骤 4/5
目标：判断选项C
∬_Σ y^2 dy dz，y^2为偶函数，但曲面在yOz平面投影为整个圆域，且前侧和后侧y^2相同，但方向相反，积分应为0？实际上，需注意：投影到yOz平面时，曲面方程x=√(R^2-y^2-z^2)（取正），但dy dz积分需将曲面表示为x=x(y,z)，则∬_Σ f dy dz = ∬_{D_{yz}} f(x(y,z),y,z) * (∂x/∂y? 不对，是dy dz积分，公式为∬_Σ P dy dz = ∬_{D_{yz}} P(x(y,z),y,z) dy dz，其中x(y,z)取正，因为上侧法向量与x轴正向夹角余弦为正？实际上，对于上侧曲面，投影到yOz平面时，若曲面由x=x(y,z)给出，则dy dz积分公式为∬_Σ P dy dz = ∬_{D_{yz}} P(x(y,z),y,z) dy dz，其中x(y,z)取正，因为上侧法向量方向为(1, -∂x/∂y, -∂x/∂z)？需要仔细：曲面Σ: x=√(R^2-y^2-z^2)，上侧，法向量方向与x轴正向夹角锐角，所以dy dz积分直接代入x表达式，且dy dz前符号为正。因此∬_Σ y^2 dy dz = ∬_{D_{yz}} y^2 dy dz，其中D_{yz}: y^2+z^2≤R^2，积分值为∬_{D_{yz}} y^2 dy dz ≠ 0（例如极坐标计算得πR^4/4），故C不正确。
公式：∬_Σ y^2 dy dz = ∬_{D_{yz}} y^2 dy dz = ∫_{-R}^{R} dy ∫_{-√(R^2-y^2)}^{√(R^2-y^2)} y^2 dz = ... ≠ 0
提示：注意dy dz积分时，曲面需表示为x=x(y,z)，且上侧直接代入正x。
步骤 5/5
目标：判断选项D
∬_Σ y dy dz，y为奇函数，积分区域D_{yz}关于y轴对称，积分值为0，故D正确。
公式：∬_Σ y dy dz = ∬_{D_{yz}} y dy dz = 0
提示：奇函数对称性。

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