kaoyan1basic 高等数学 第654题

**答案**：C **解析**： 步骤1：由斯托克斯公式，$\displaystyle \oint_\Gamma y\mathrm{d}x+z\mathrm{d}y+x\mathrm{d}z=\iint_S \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$P=y,Q=z,R=x$。 步骤2：计算旋度：$\displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0-1=-1$，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=0-1=-1$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0-1=-1$。 步骤3：取$S$为平面$x+y+z=0$上被球面截得的圆盘，法向量方向与曲线方向符合右手定则，从$x$轴正向看逆时针，法向量指向$z$轴正向？需确定。平面法向量为$(1,1,1)$，单位化，方向余弦均为正，故上侧法向量与$z$轴正向夹角锐角。 步骤4：$\displaystyle \iint_S (-1,-1,-1)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=-\iint_S (1,1,1)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=-\iint_S \mathrm{d}S\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3}=-\iint_S \mathrm{d}S$。 步骤5：$S$是半径为$a$的圆（球面与平面交线为大圆），面积$\pi a^2$，故积分$=-\pi a^2$。但选项有$\sqrt{3}$，需注意：$\iint_S (1,1,1)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\iint_S (1,1,1)\cdot\vec{n}\mathrm{d}S$，$\displaystyle \vec{n}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$，点乘得$\sqrt{3}$，故$\iint_S (-1,-1,-1)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=-\sqrt{3}\iint_S \mathrm{d}S=-\sqrt{3}\pi a^2$。 **难度**：★★★★☆