kaoyan1basic 高等数学 第655题
📝 题目
### 第655题 函数 $f(x, y, z)=x^{2} y^{3}+3 y^{2} z^{3}$ 在点 $(0,1,1)$ 处方向导数的最大值为 （A）$\sqrt{107}$ ． （B）$\sqrt{117}$ ． （C） 117 ． （D） 107 ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：计算梯度$\nabla f = (2xy^3, 3x^2y^2+6yz^3, 9y^2z^2)$，在点$(0,1,1)$处得$\nabla f(0,1,1)=(0,6,9)$。 步骤2：方向导数的最大值等于梯度的模，即$\sqrt{0^2+6^2+9^2}=\sqrt{117}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算梯度向量
计算函数 f(x,y,z)=x^2 y^3 + 3y^2 z^3 的梯度 ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。∂f/∂x = 2xy^3，∂f/∂y = 3x^2 y^2 + 6y z^3，∂f/∂z = 9y^2 z^2。在点 (0,1,1) 处代入得 ∇f(0,1,1) = (0, 6, 9)。
公式：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)
提示：注意偏导数的计算要准确，特别是对 y 的偏导有两项。
步骤 2/2
目标：求方向导数的最大值
方向导数的最大值等于梯度向量的模，即 |∇f| = √(0^2 + 6^2 + 9^2) = √(36+81) = √117。
公式：方向导数最大值 = |∇f|
提示：梯度方向是方向导数最大的方向，其模即为最大值。
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