kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
## 第3题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题 $\displaystyle 4 \quad I=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x \cos \sqrt{\frac{x+1}{x^{2}}}}=$ 答题区 纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：7 **解析**：步骤1：由$\displaystyle f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2$，令$\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$，则$f(t)=t^2-2$。 步骤2：$\lim_{x\to3}f(x)=f(3)=3^2-2=7$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求函数f(x)的表达式
由已知条件f(x+1/x)=x^2+1/x^2，注意到x^2+1/x^2 = (x+1/x)^2 - 2，因此令t=x+1/x，则f(t)=t^2-2。
公式：x^2+1/x^2 = (x+1/x)^2 - 2
提示：通过配方法将表达式转化为关于x+1/x的形式。
步骤 2/2
目标：计算极限
由于f(x)=x^2-2，且f(x)在x=3处连续，所以lim_{x→3} f(x) = f(3) = 3^2 - 2 = 7。
公式：f(3)=3^2-2=7
提示：直接代入求值。
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