kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
## 第7题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x}) \cdots(1-\sqrt[n]{\cos x})}{(1-\cos x)^{n-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{n!}$ **解析**：步骤1：当$x\to0$时，$\displaystyle 1-\sqrt[k]{\cos x}=1-(1-\frac{x^2}{2}+O(x^4))^{1/k}=1-(1-\frac{x^2}{2k}+O(x^4))=\frac{x^2}{2k}+O(x^4)$。 步骤2：分子乘积$\displaystyle \sim\prod_{k=2}^n\frac{x^2}{2k}=\frac{x^{2(n-1)}}{2^{n-1}n!}$，分母$\displaystyle (1-\cos x)^{n-1}\sim\left(\frac{x^2}{2}\right)^{n-1}=\frac{x^{2(n-1)}}{2^{n-1}}$，故极限为$\displaystyle \frac{1}{n!}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：展开1-∛cos x的等价无穷小
当x→0时，cos x = 1 - x^2/2 + O(x^4)，则(cos x)^(1/k) = (1 - x^2/2 + O(x^4))^(1/k) = 1 - x^2/(2k) + O(x^4)，因此1 - (cos x)^(1/k) ~ x^2/(2k)。
公式：1 - (cos x)^(1/k) ~ x^2/(2k)
提示：使用二项式展开或等价无穷小替换，注意高阶无穷小可忽略。
步骤 2/4
目标：计算分子乘积的等价无穷小
分子为∏_{k=2}^n (1 - (cos x)^(1/k))，每个因子等价于x^2/(2k)，因此乘积等价于∏_{k=2}^n (x^2/(2k)) = x^(2(n-1)) / (2^(n-1) * n!)。
公式：∏_{k=2}^n (x^2/(2k)) = x^(2(n-1)) / (2^(n-1) n!)
提示：注意k从2到n，乘积中分母的k相乘得到n!。
步骤 3/4
目标：计算分母的等价无穷小
1 - cos x ~ x^2/2，所以(1 - cos x)^(n-1) ~ (x^2/2)^(n-1) = x^(2(n-1)) / 2^(n-1)。
公式：(1 - cos x)^(n-1) ~ x^(2(n-1)) / 2^(n-1)
提示：直接使用1-cos x的等价无穷小。
步骤 4/4
目标：求极限
原极限 = lim_{x→0} [x^(2(n-1)) / (2^(n-1) n!)] / [x^(2(n-1)) / 2^(n-1)] = 1/n!。
公式：极限 = 1/n!
提示：分子分母的x幂次和2的幂次相消。
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