kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
## 第8题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{x^{2}}+x^{3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$e$ **解析**：步骤1：原式$\displaystyle =\lim_{x\to\infty}e^{\frac{\ln(e^{x^2}+x^3)}{x^2}}$，考虑$\ln(e^{x^2}+x^3)=x^2+\ln(1+x^3e^{-x^2})$。 步骤2：当$x\to\infty$时，$x^3e^{-x^2}\to0$，故$\ln(1+x^3e^{-x^2})\sim x^3e^{-x^2}\to0$，所以指数极限为$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^2+o(1)}{x^2}=1$，原式$=e^1=e$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将原极限转化为指数形式
原式 = lim_{x→∞} e^{[ln(e^{x^2}+x^3)]/x^2}
公式：a^b = e^{b ln a}
提示：利用指数对数恒等式简化极限
步骤 2/5
目标：化简对数部分
ln(e^{x^2}+x^3) = ln[e^{x^2}(1+x^3 e^{-x^2})] = x^2 + ln(1+x^3 e^{-x^2})
公式：ln(ab)=ln a+ln b
提示：提取公因子 e^{x^2}
步骤 3/5
目标：估计 ln(1+x^3 e^{-x^2}) 的极限
当 x→∞ 时，x^3 e^{-x^2} → 0，故 ln(1+x^3 e^{-x^2}) ~ x^3 e^{-x^2} → 0
公式：ln(1+u) ~ u (u→0)
提示：使用等价无穷小替换
步骤 4/5
目标：计算指数部分的极限
lim_{x→∞} [x^2 + ln(1+x^3 e^{-x^2})]/x^2 = lim_{x→∞} (1 + o(1)) = 1
提示：分子中 ln(1+...) 是比 x^2 高阶的无穷小
步骤 5/5
目标：得出原极限值
原式 = e^1 = e
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