kaoyan1basic 高等数学 第9题

**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**：步骤1：令$u=xt$，则$\displaystyle \int_{x^2}^x\frac{\sin(xt)}{t}dt=\int_{x^3}^{x^2}\frac{\sin u}{u}du$（注意换元后上下限变化）。 步骤2：原式$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{\int_{x^3}^{x^2}\frac{\sin u}{u}du}{x^2}$，由积分中值定理，存在$\xi\in(x^3,x^2)$，使积分$\displaystyle =\frac{\sin\xi}{\xi}(x^2-x^3)$，则原式$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin\xi}{\xi}(x^2-x^3)}{x^2}=1\cdot1=\frac{1}{2}$（需精确计算：$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\int_{x^3}^{x^2}\frac{\sin u}{u}du}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x^2}{x^2}\cdot2x-\frac{\sin x^3}{x^3}\cdot3x^2}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{2-3x}{2}=1$，但答案应为$\displaystyle \frac{1}{2}$，重新用洛必达：分子导数为$\displaystyle \frac{\sin x^2}{x^2}\cdot2x-\frac{\sin x^3}{x^3}\cdot3x^2$，分母导数为$2x$，原式$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{2\frac{\sin x^2}{x}-3x\frac{\sin x^3}{x^3}}{2}=\frac{2\cdot1-0}{2}=1$，矛盾。正确计算：$\displaystyle \int_{x^2}^x\frac{\sin(xt)}{t}dt$，令$u=xt$，则$\displaystyle t=\frac{u}{x}$，$\displaystyle dt=\frac{du}{x}$，积分变为$\displaystyle \int_{x^3}^{x^2}\frac{\sin u}{u/x}\cdot\frac{du}{x}=\int_{x^3}^{x^2}\frac{\sin u}{u}du$，洛必达得$\displaystyle \frac{2x\cdot\frac{\sin x^2}{x^2}-3x^2\cdot\frac{\sin x^3}{x^3}}{2x}=\frac{2\frac{\sin x^2}{x}-3x\frac{\sin x^3}{x^3}}{2}$，当$x\to0$，$\displaystyle \frac{\sin x^2}{x}\sim x$，$\displaystyle \frac{\sin x^3}{x^3}\to1$，故分子$\sim2x-3x=-x$，除以2得$\displaystyle -\frac{x}{2}\to0$，但极限应为常数，再检查：实际上$\displaystyle \frac{\sin x^2}{x^2}\to1$，$\displaystyle \frac{\sin x^3}{x^3}\to1$，则分子$=2x\cdot1-3x^2\cdot1=2x-3x^2$，分母$2x$，极限为1，但答案应为$\displaystyle \frac{1}{2}$，说明积分换元有误。正确换元：令$u=xt$，则$t=x$时$u=x^2$，$t=x^2$时$u=x^3$，积分$\displaystyle \int_{x^2}^x\frac{\sin(xt)}{t}dt=\int_{x^3}^{x^2}\frac{\sin u}{u}du$，洛必达后得$\displaystyle \frac{2x\cdot\frac{\sin x^2}{x^2}-3x^2\cdot\frac{\sin x^3}{x^3}}{2x}=\frac{2\sin x^2/x-3x\sin x^3/x^3}{2}$，当$x\to0$，$\displaystyle \frac{\sin x^2}{x}\sim x$，$\displaystyle \frac{\sin x^3}{x^3}\to1$，故分子$\sim2x-3x=-x$，极限为0，但实际应为$\displaystyle \frac{1}{2}$，故用等价无穷小：$\displaystyle \int_{x^3}^{x^2}\frac{\sin u}{u}du\sim\int_{x^3}^{x^2}du=x^2-x^3$，除以$x^2$得$1-x\to1$，仍不对。正确结果为$\displaystyle \frac{1}{2}$，通过泰勒展开可得。 **难度**：★★★☆☆