kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
## 第10题 (高等数学 - 填空题) $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(2^{\frac{1}{x}}-2^{\frac{1}{x+1}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\ln 2$ **解析**：步骤1：令$\displaystyle t=\frac{1}{x}$，则$x\to+\infty$时$t\to0^+$，原式$\displaystyle =\lim_{t\to0^+}\frac{2^t-2^{\frac{t}{1+t}}}{t^2}$。 步骤2：$\displaystyle 2^{\frac{t}{1+t}}=2^{t(1-t+O(t^2))}=2^t\cdot2^{-t^2+O(t^3)}=2^t(1-t^2\ln2+O(t^3))$，则分子$=2^t[1-(1-t^2\ln2)]=2^t t^2\ln2$，除以$t^2$得$2^t\ln2\to\ln2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简极限表达式
令 t = 1/x，则 x→+∞ 时 t→0⁺，原式 = lim_{t→0⁺} (2^t - 2^{t/(1+t)}) / t²。
公式：t = 1/x
提示：注意变量替换后极限过程的变化。
步骤 2/3
目标：展开指数函数
将 2^{t/(1+t)} 展开：t/(1+t) = t(1 - t + O(t²))，所以 2^{t/(1+t)} = 2^{t(1-t+O(t²))} = 2^t · 2^{-t²+O(t³)} = 2^t (1 - t² ln2 + O(t³))。
公式：2^{a+b} = 2^a · 2^b，2^u = e^{u ln2} = 1 + u ln2 + O(u²)
提示：利用指数函数的泰勒展开，注意高阶无穷小。
步骤 3/3
目标：计算分子并求极限
分子 = 2^t - 2^{t/(1+t)} = 2^t [1 - (1 - t² ln2 + O(t³))] = 2^t (t² ln2 + O(t³))，除以 t² 得 2^t ln2 + O(t) → ln2 (t→0⁺)。
公式：lim_{t→0} 2^t = 1
提示：注意 O(t³)/t² = O(t) → 0。
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