kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
## 第11题 (高等数学 - 填空题) 设 $\alpha>0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+x\right)^{x^{\alpha}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**：步骤1：考虑$\lim_{x\to0^+}(x^2+x)^{x^\alpha}=e^{\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln(x^2+x)}$。 步骤2：$\ln(x^2+x)=\ln x+\ln(1+x)\sim\ln x$，则指数部分$\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln x$，当$\alpha>0$时，$x^\alpha\ln x\to0$，故原极限$=e^0=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将原极限转化为指数形式
由于函数形式为幂指函数，考虑取指数和对数：$\lim_{x\to0^+}(x^2+x)^{x^\alpha}=e^{\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln(x^2+x)}$。
公式：$\lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x)\ln f(x)}$
提示：幂指函数求极限常用指数对数法。
步骤 2/3
目标：化简对数部分
对 $\ln(x^2+x)$ 进行变形：$\ln(x^2+x)=\ln[x(x+1)]=\ln x+\ln(1+x)$。当 $x\to0^+$ 时，$\ln(1+x)\sim x$，但此处只需知道 $\ln(1+x)\to0$，而 $\ln x\to-\infty$，因此 $\ln(x^2+x)\sim\ln x$。
公式：$\ln(x^2+x)=\ln x+\ln(1+x)$
提示：注意 $\ln(1+x)$ 在 $x\to0$ 时趋于0，但 $\ln x$ 趋于负无穷，所以主要项是 $\ln x$。
步骤 3/3
目标：计算指数部分的极限
考虑 $\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln(x^2+x)$。由于 $\ln(x^2+x)\sim\ln x$，所以极限等价于 $\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln x$。对于 $\alpha>0$，这是一个 $0\cdot(-\infty)$ 型未定式，但已知 $\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln x=0$（因为 $x^\alpha$ 趋于0的速度快于 $\ln x$ 趋于负无穷的速度）。因此原极限为 $e^0=1$。
公式：$\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln x=0$（$\alpha>0$）
提示：记住常见极限：$\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln x=0$（$\alpha>0$）。
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