kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
## 第12题 (高等数学 - 填空题) 数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{2}{n}-\arctan \frac{2}{n+1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**：步骤1：利用拉格朗日中值定理，存在$\xi_n$介于$\displaystyle \frac{2}{n+1}$与$\displaystyle \frac{2}{n}$之间，使得$\displaystyle \arctan\frac{2}{n}-\arctan\frac{2}{n+1}=\frac{1}{1+\xi_n^2}\left(\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}\right)=\frac{1}{1+\xi_n^2}\cdot\frac{2}{n(n+1)}$。步骤2：代入原极限，$\displaystyle I=\lim_{n\to\infty}n^2\cdot\frac{1}{1+\xi_n^2}\cdot\frac{2}{n(n+1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n+1}\cdot\frac{1}{1+\xi_n^2}$。步骤3：由于$\xi_n\to0$，故$\displaystyle \frac{1}{1+\xi_n^2}\to1$，$\displaystyle \frac{2n}{n+1}\to2$，因此$I=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用拉格朗日中值定理将差转化为导数形式
设函数 f(x)=arctan x，在区间 [2/(n+1), 2/n] 上应用拉格朗日中值定理，存在 ξ_n 介于 2/(n+1) 与 2/n 之间，使得 arctan(2/n) - arctan(2/(n+1)) = f'(ξ_n) * (2/n - 2/(n+1)) = 1/(1+ξ_n^2) * 2/(n(n+1))。
公式：arctan a - arctan b = (1/(1+ξ^2))*(a-b)，其中 ξ 介于 b 与 a 之间
提示：注意中值定理的条件：函数在闭区间连续，开区间可导。
步骤 2/3
目标：代入原极限表达式并化简
将上述结果代入原极限：I = lim_{n→∞} n^2 * [1/(1+ξ_n^2) * 2/(n(n+1))] = lim_{n→∞} (2n/(n+1)) * (1/(1+ξ_n^2))。
公式：I = lim_{n→∞} (2n/(n+1)) * (1/(1+ξ_n^2))
提示：化简时注意 n^2 与分母 n(n+1) 约去一个 n。
步骤 3/3
目标：求极限
由于 ξ_n 介于 2/(n+1) 与 2/n 之间，当 n→∞ 时，ξ_n→0，故 1/(1+ξ_n^2)→1。同时，2n/(n+1)→2。因此 I = 2 * 1 = 2。
公式：lim_{n→∞} 2n/(n+1) = 2，lim_{n→∞} 1/(1+ξ_n^2) = 1
提示：夹逼准则：ξ_n 趋于 0 是因为 2/(n+1) 和 2/n 都趋于 0。
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