kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
## 第13题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle x_{0}=0, x_{n}=\frac{1+2 x_{n-1}}{1+x_{n-1}}(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ **解析**：步骤1：设极限为$L$，则$\displaystyle L=\frac{1+2L}{1+L}$，解得$L^2-L-1=0$，$\displaystyle L=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。步骤2：由$x_0=0$，$x_1=1$，数列递增且有上界，故取正根$\displaystyle L=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：设极限并建立方程
设极限为L，则对递推公式两边取极限，得L = (1+2L)/(1+L)。
公式：L = \frac{1+2L}{1+L}
提示：注意数列极限存在的前提是已证明收敛性，但填空题可直接设极限求解。
步骤 2/3
目标：解方程求L
将方程化为L(1+L)=1+2L，即L^2+L=1+2L，整理得L^2-L-1=0，解得L=(1±√5)/2。
公式：L^2 - L - 1 = 0
提示：一元二次方程求根公式。
步骤 3/3
目标：根据初始条件确定极限值
由x0=0，计算x1=1，x2=3/2，数列递增且有上界，故极限应为正根，即L=(1+√5)/2。
提示：通过前几项判断数列单调性，舍去负根。
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