kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
## 第14题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)}{x}=3$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ． ## ✓ 纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**：步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x+\frac{f(x)}{x})}{x}=3$，且分母$x\to0$，则分子$\displaystyle \ln(1+x+\frac{f(x)}{x})\to0$，故$\displaystyle x+\frac{f(x)}{x}\to0$。步骤2：利用等价无穷小$\ln(1+u)\sim u$，得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x+\frac{f(x)}{x}}{x}=3$，即$\displaystyle \lim_{x\to0}\left(1+\frac{f(x)}{x^2}\right)=3$，所以$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析极限条件，确定分子趋于0
由 $\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x+\frac{f(x)}{x})}{x}=3$，分母 $x\to 0$，则分子 $\ln(1+x+\frac{f(x)}{x})\to 0$，因此 $x+\frac{f(x)}{x}\to 0$。
提示：注意极限存在的必要条件：分母趋于0时，分子也必须趋于0。
步骤 2/4
目标：利用等价无穷小替换
当 $u\to 0$ 时，$\ln(1+u)\sim u$。令 $u=x+\frac{f(x)}{x}$，则原极限化为 $\lim_{x\to 0}\frac{x+\frac{f(x)}{x}}{x}=3$。
公式：$\ln(1+u)\sim u$ 当 $u\to 0$
提示：确保等价无穷小替换的条件成立：$u\to 0$。
步骤 3/4
目标：化简极限表达式
化简得 $\lim_{x\to 0}\left(1+\frac{f(x)}{x^2}\right)=3$。
提示：将 $\frac{x+\frac{f(x)}{x}}{x}$ 拆分为 $1+\frac{f(x)}{x^2}$。
步骤 4/4
目标：求解极限值
由 $\lim_{x\to 0}\left(1+\frac{f(x)}{x^2}\right)=3$，得 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=2$。
提示：利用极限的线性性质：$\lim (1+A)=1+\lim A$。
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