kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
## 第16题 (高等数学 - 填空题) 设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 连续，且 $f(1)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\ln3$ **解析**：步骤1：先求$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to+\infty}e^{\frac{\ln x}{x}}=e^0=1$。步骤2：由$f(x)$在$x=1$连续，$f(1)=1$，故$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)=f(1)=1$。步骤3：原极限$=\ln(2+1)=\ln3$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求内层极限
计算 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x^{\frac{1}{x}}$。
公式：$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x^{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to+\infty} e^{\frac{\ln x}{x}} = e^0 = 1$
提示：利用指数对数恒等式 $a^b = e^{b\ln a}$，将幂指函数转化为指数函数，再求极限。
步骤 2/3
目标：利用连续性求函数值极限
由 $f(x)$ 在 $x=1$ 连续且 $f(1)=1$，得 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f\left(x^{\frac{1}{x}}\right) = f(1) = 1$。
公式：$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f\left(x^{\frac{1}{x}}\right) = f\left(\lim_{x\to+\infty} x^{\frac{1}{x}}\right) = f(1) = 1$
提示：复合函数求极限时，若内层极限存在且外层函数连续，则极限符号可交换。
步骤 3/3
目标：代入原极限求值
原极限 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \ln\left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right] = \ln(2+1) = \ln 3$。
公式：$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \ln\left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right] = \ln\left(2+\lim_{x\to+\infty} f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right) = \ln 3$
提示：对数函数连续，极限符号可进入对数内部。
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