kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
## 第17题 (高等数学 - 填空题) 设 $a, b$ 为常数，且 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{1-x^{6}}-a x^{2}-b\right)=0$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=-1$，$b=0$ **解析**：步骤1：$\displaystyle \sqrt[3]{1-x^6}=(-x^6)^{1/3}\left(1-\frac{1}{x^6}\right)^{1/3}=-x^2\left(1-\frac{1}{x^6}\right)^{1/3}$。步骤2：展开$\displaystyle \left(1-\frac{1}{x^6}\right)^{1/3}=1-\frac{1}{3x^6}+o\left(\frac{1}{x^6}\right)$，故$\displaystyle \sqrt[3]{1-x^6}=-x^2+\frac{1}{3x^4}+o\left(\frac{1}{x^4}\right)$。步骤3：代入极限$\displaystyle \lim_{x\to\infty}(-x^2+\frac{1}{3x^4}+o(\frac{1}{x^4})-ax^2-b)=0$，得$-1-a=0$且$-b=0$，所以$a=-1$，$b=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简根式
将 $\sqrt[3]{1-x^6}$ 写成 $(-x^6)^{1/3}\left(1-\frac{1}{x^6}\right)^{1/3} = -x^2\left(1-\frac{1}{x^6}\right)^{1/3}$。
公式：$\sqrt[3]{1-x^6} = -x^2\left(1-\frac{1}{x^6}\right)^{1/3}$
提示：注意 $x\to\infty$ 时 $x^6$ 为正，但 $1-x^6$ 为负，开奇次方得负，提取 $-x^2$。
步骤 2/4
目标：展开二项式
利用 $(1+u)^{1/3}=1+\frac{1}{3}u+o(u)$，其中 $u=-\frac{1}{x^6}$，得 $\left(1-\frac{1}{x^6}\right)^{1/3}=1-\frac{1}{3x^6}+o\left(\frac{1}{x^6}\right)$。
公式：$(1+u)^{\alpha}=1+\alpha u+o(u)$
提示：展开到 $\frac{1}{x^6}$ 项，因为乘以 $-x^2$ 后得到 $\frac{1}{x^4}$ 项，对极限有贡献。
步骤 3/4
目标：代入并合并
代入得 $\sqrt[3]{1-x^6} = -x^2 + \frac{1}{3x^4} + o\left(\frac{1}{x^4}\right)$。
公式：$\sqrt[3]{1-x^6} = -x^2 + \frac{1}{3x^4} + o\left(\frac{1}{x^4}\right)$
提示：注意 $o\left(\frac{1}{x^6}\right)$ 乘以 $-x^2$ 后为 $o\left(\frac{1}{x^4}\right)$。
步骤 4/4
目标：求极限并确定参数
代入极限：$\lim_{x\to\infty}\left(-x^2 + \frac{1}{3x^4} + o\left(\frac{1}{x^4}\right) - a x^2 - b\right)=0$。合并 $x^2$ 项：$(-1-a)x^2$，常数项：$-b$，其余项趋于0。因此 $(-1-a)=0$ 且 $-b=0$，解得 $a=-1$，$b=0$。
公式：$\lim_{x\to\infty}\left[(-1-a)x^2 - b + \frac{1}{3x^4}+o\left(\frac{1}{x^4}\right)\right]=0$
提示：极限为0要求 $x^2$ 系数和常数项均为0，高阶无穷小自动为0。
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