kaoyan1basic 高等数学 第24题
📝 题目
## 第24题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-b}{(x-a)(x-b)}$ 有无穷间断点 $x=\mathrm{e}$ ，可去间断点 $x=1$ ，则 $(a, b)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$(1,\mathrm{e})$ **解析**：步骤1：无穷间断点$x=\mathrm{e}$，则分母$(x-a)(x-b)$在$x=\mathrm{e}$处为0，故$a=\mathrm{e}$或$b=\mathrm{e}$。步骤2：可去间断点$x=1$，则分母在$x=1$处为0，且分子$\mathrm{e}^x-b$在$x=1$处也为0，故$\mathrm{e}^1-b=0$，$b=\mathrm{e}$。步骤3：此时分母$(x-a)(x-\mathrm{e})$，若$a=1$，则$x=1$为可去间断点，$x=\mathrm{e}$为无穷间断点。故$(a,b)=(1,\mathrm{e})$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定无穷间断点条件
由于x=e是无穷间断点，分母在x=e处必须为零，即(e-a)(e-b)=0，因此a=e或b=e。
公式：(e-a)(e-b)=0
提示：无穷间断点要求分母为零而分子非零。
步骤 2/3
目标：确定可去间断点条件
由于x=1是可去间断点，分母在x=1处为零，即(1-a)(1-b)=0，同时分子在x=1处也必须为零，即e^1 - b = 0，解得b=e。
公式：e^1 - b = 0
提示：可去间断点要求分子分母同时为零，且极限存在。
步骤 3/3
目标：求解a和b
由步骤2得b=e。代入步骤1，若b=e，则分母为(x-a)(x-e)。为使x=1为可去间断点，需1-a=0，即a=1。此时x=e为无穷间断点，满足条件。因此(a,b)=(1,e)。
公式：a=1, b=e
提示：验证两个间断点类型是否正确。
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