kaoyan1basic 高等数学 第25题
📝 题目
## 第25题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$ ，则 $f(x)$ 的连续区间是 $\_\_\_\_$ ． ## ✓ 纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ **解析**：步骤1：当$x>0$时，$e^{nx}\to+\infty$，分子分母同除$e^{nx}$，得$\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{xe^{-nx}+x^2}{e^{-nx}+1}=x^2$。步骤2：当$x=0$时，$\displaystyle f(0)=\lim_{n\to\infty}\frac{0+0}{1+1}=0$。步骤3：当$x<0$时，$e^{nx}\to0$，得$\displaystyle f(x)=\frac{x+0}{1+0}=x$。步骤4：$f(x)=\begin{cases}x^2, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ x, & x<0\end{cases}$，在$x=0$处左极限0，右极限0，但$f(0)=0$，连续。故连续区间为$(-\infty,+\infty)$。注意：原答案可能为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，但$x=0$处连续，故应为全体实数。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析x>0时的极限
当x>0时，e^{nx}→+∞，分子分母同除以e^{nx}，得f(x)=lim_{n→∞}(x e^{-nx}+x^2)/(e^{-nx}+1)=x^2。
公式：f(x)=x^2, x>0
提示：注意e^{-nx}→0。
步骤 2/4
目标：分析x=0时的极限
当x=0时，f(0)=lim_{n→∞}(0+0)/(1+1)=0。
公式：f(0)=0
提示：直接代入计算。
步骤 3/4
目标：分析x<0时的极限
当x<0时，e^{nx}→0，得f(x)=lim_{n→∞}(x+0)/(1+0)=x。
公式：f(x)=x, x<0
提示：注意e^{nx}→0。
步骤 4/4
目标：写出分段函数并判断连续性
f(x)= { x^2, x>0; 0, x=0; x, x<0 }。在x=0处，左极限=0，右极限=0，f(0)=0，故连续。连续区间为(-∞,+∞)。
提示：检查分段点处的极限与函数值。
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