kaoyan1basic 高等数学 第26题
📝 题目
## 第26题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\arctan x, & x \leqslant 1 \\ \frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x^{2}-1}-x\right)+\frac{\pi}{4}, & x>1\end{array}\right.$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ． ## （－）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f'(x)=\begin{cases}\frac{1}{1+x^2}, & x<1 \\ xe^{x^2-1}-\frac{1}{2}, & x>1\end{cases}$，在$x=1$处不可导 **解析**：步骤1：当$x<1$时，$f(x)=\arctan x$，$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$。步骤2：当$x>1$时，$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(e^{x^2-1}-x)+\frac{\pi}{4}$，$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2}(2xe^{x^2-1}-1)=xe^{x^2-1}-\frac{1}{2}$。步骤3：在$x=1$处，左导数$\displaystyle \frac{1}{2}$，右导数$\displaystyle 1\cdot e^{0}-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，相等，故可导，$\displaystyle f'(1)=\frac{1}{2}$。因此$\displaystyle f'(x)=\begin{cases}\frac{1}{1+x^2}, & x\leq1 \\ xe^{x^2-1}-\frac{1}{2}, & x>1\end{cases}$。 **难度**：★★★☆☆