kaoyan1basic 高等数学 第27题
📝 题目
## 第27题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\ln (1+b x)}{x}, & x \neq 0 \\ -1, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $b$ 为某常数，$f(x)$ 在定义域上处处可导，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ． ## 数学基础过关660题•数学一（习题册）
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f'(x)=\begin{cases}\frac{\frac{b}{1+bx}\cdot x - \ln(1+bx)}{x^2}, & x\neq0 \\ -\frac{b^2}{2}, & x=0\end{cases}$ **解析**：步骤1：当$x\neq0$时，$\displaystyle f(x)=\frac{\ln(1+bx)}{x}$，求导得$\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{b}{1+bx}\cdot x - \ln(1+bx)}{x^2}$。步骤2：由$f(x)$在$x=0$处可导，先求$f(0)=-1$，利用导数定义：$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\ln(1+bx)}{x}+1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+bx)+x}{x^2}$。步骤3：展开$\displaystyle \ln(1+bx)=bx-\frac{b^2x^2}{2}+o(x^2)$，代入得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{bx-\frac{b^2x^2}{2}+o(x^2)+x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{(b+1)x-\frac{b^2}{2}x^2+o(x^2)}{x^2}$，为使极限存在，需$b+1=0$，即$b=-1$，此时$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)}{x^2}=-\frac{1}{2}$。步骤4：故$b=-1$，$\displaystyle f'(x)=\begin{cases}\frac{-\frac{1}{1-x}\cdot x - \ln(1-x)}{x^2}, & x\neq0 \\ -\frac{1}{2}, & x=0\end{cases}$。 **难度**：★★★★☆