kaoyan1basic 高等数学 第28题
📝 题目
## 第28题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{array}\right.$ ，若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ；若 $f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：$\alpha > 1$；$\alpha > 2$ **解析**： 步骤1：$f(x)$在$x=0$可导，首先需连续。$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^\alpha \sin\frac{1}{x}=0$，故$\alpha > 0$。 步骤2：左导数$f'_-(0)=0$，右导数$\displaystyle f'_+(0)=\lim_{x \to 0^+} x^{\alpha-1} \sin\frac{1}{x}=0$，需$\alpha-1 > 0$即$\alpha > 1$。 步骤3：$f'(x)$连续，需$\lim_{x \to 0^+} f'(x)=f'(0)=0$。$\displaystyle f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}\sin\frac{1}{x} - x^{\alpha-2}\cos\frac{1}{x}$，极限为0需$\alpha-2 > 0$即$\alpha > 2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定f(x)在x=0处可导的条件
首先，f(x)在x=0处可导必须连续。计算右极限：lim_{x→0+} x^α sin(1/x) = 0，因此需要α > 0。左极限为0，故连续条件为α > 0。
公式：lim_{x→0+} x^α sin(1/x) = 0 当 α > 0
提示：注意sin(1/x)有界，极限由x^α决定。
步骤 2/3
目标：计算左右导数并令其相等
左导数：f'_-(0) = lim_{x→0-} (x^2 - 0)/x = 0。右导数：f'_+(0) = lim_{x→0+} (x^α sin(1/x) - 0)/x = lim_{x→0+} x^{α-1} sin(1/x) = 0，需要α-1 > 0，即α > 1。
公式：f'_+(0) = lim_{x→0+} x^{α-1} sin(1/x) = 0 当 α > 1
提示：右导数极限为0需指数为正。
步骤 3/3
目标：确定f'(x)连续的条件
f'(x)在x>0时为α x^{α-1} sin(1/x) - x^{α-2} cos(1/x)。f'(0)=0。要连续需lim_{x→0+} f'(x)=0。两项极限均为0需α-2 > 0，即α > 2。
公式：lim_{x→0+} [α x^{α-1} sin(1/x) - x^{α-2} cos(1/x)] = 0 当 α > 2
提示：注意cos(1/x)无界，需指数足够大。
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