kaoyan1basic 高等数学 第29题
📝 题目
## 第29题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且是偶函数，$f^{\prime}(-2)=-1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(5-2 \sin h)-f(5)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：由周期性$f(5)=f(2)$，$f(5-2\sin h)=f(2-2\sin h)$。 步骤2：$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{f(2-2\sin h)-f(2)}$。 步骤3：令$u=-2\sin h$，则$\displaystyle h \sim -\frac{u}{2}$，原式$\displaystyle =\lim_{u \to 0} \frac{-u/2}{f(2+u)-f(2)} = -\frac{1}{2f'(2)}$。 步骤4：由偶函数$f'(-2)=-f'(2)=-1$，得$f'(2)=1$，故原式$\displaystyle =-\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用周期性简化函数自变量
由于f(x)周期为3，有f(5)=f(2)，f(5-2sin h)=f(2-2sin h)。
公式：f(x+3)=f(x)
提示：将5和5-2sin h减去3的倍数转化为2和2-2sin h。
步骤 2/4
目标：变量代换转化为导数定义形式
令u=-2sin h，则当h→0时，u→0，且h ~ -u/2。原极限化为lim_{u→0} (-u/2)/(f(2+u)-f(2)) = -1/(2f'(2))。
公式：lim_{u→0} (f(2+u)-f(2))/u = f'(2)
提示：注意等价无穷小替换：sin h ~ h，但这里直接令u=-2sin h更精确。
步骤 3/4
目标：利用偶函数性质求导数值
f(x)是偶函数，则f'(-x) = -f'(x)。由f'(-2)=-1得-f'(2)=-1，所以f'(2)=1。
公式：f'(-x) = -f'(x)
提示：偶函数的导数是奇函数。
步骤 4/4
目标：代入计算极限
将f'(2)=1代入得原极限 = -1/(2*1) = -1/2。
提示：最终结果注意负号。
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