kaoyan1basic 高等数学 第30题
📝 题目
## 第30题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=3$ ，则数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos \frac{1}{n}}}=$ $\_\_\_\_$ ． ◯纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$e^3$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle I = \lim_{n \to \infty} \left( f\left(\frac{1}{n}\right) \right)^{\frac{1/n}{1-\cos(1/n)}}$，取对数：$\displaystyle \ln I = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{1-\cos(1/n)} \ln f\left(\frac{1}{n}\right)$。 步骤2：令$\displaystyle x=\frac{1}{n}$，则$\displaystyle \ln I = \lim_{x \to 0} \frac{x}{1-\cos x} \ln f(x)$。 步骤3：$\displaystyle \frac{x}{1-\cos x} \sim \frac{x}{x^2/2} = \frac{2}{x}$，$\ln f(x) \sim \ln(1+3x) \sim 3x$，故$\displaystyle \ln I = \lim_{x \to 0} \frac{2}{x} \cdot 3x = 6$，$I=e^6$。 **难度**：★★★☆☆