kaoyan1basic 高等数学 第31题
📝 题目
## 第31题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶导数存在，则 $$ I=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime}(a)}{h}= $$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}f''(a)$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle I = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h} - f'(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)-hf'(a)}{h^2}$。 步骤2：由二阶导数存在，用泰勒公式：$\displaystyle f(a+h)=f(a)+hf'(a)+\frac{1}{2}h^2 f''(a)+o(h^2)$。 步骤3：代入得$\displaystyle I = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2}h^2 f''(a)+o(h^2)}{h^2} = \frac{1}{2}f''(a)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将极限表达式化简为差商形式
将分子中的两项合并，得到 I = lim_{h→0} [f(a+h)-f(a)-h f'(a)] / h^2
公式：I = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)-h f'(a)}{h^2}
提示：注意通分时不要出错
步骤 2/3
目标：利用泰勒公式展开 f(a+h)
由于 f 在 x=a 处二阶可导，将 f(a+h) 在 x=a 处展开到二阶：f(a+h)=f(a)+h f'(a)+1/2 h^2 f''(a)+o(h^2)
公式：f(a+h)=f(a)+h f'(a)+\frac{1}{2}h^2 f''(a)+o(h^2)
提示：注意余项是 h^2 的高阶无穷小
步骤 3/3
目标：代入化简并求极限
将泰勒展开代入分子，消去 f(a) 和 h f'(a)，得到分子为 1/2 h^2 f''(a)+o(h^2)，除以 h^2 后取极限得 1/2 f''(a)
公式：I = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2}h^2 f''(a)+o(h^2)}{h^2} = \frac{1}{2}f''(a)
提示：极限计算时注意高阶无穷小趋于0
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