kaoyan1basic 高等数学 第32题
📝 题目
## 第32题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)=x^{\sin x}(x>0)$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$ **解析**： 步骤1：$f(x)=e^{\sin x \ln x}$，则$\displaystyle f'(x)=e^{\sin x \ln x} \cdot (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x})$。 步骤2：即$\displaystyle f'(x)=x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将幂指函数转化为指数形式
由于 $f(x)=x^{\sin x}$，且 $x>0$，可写为 $f(x)=e^{\sin x \ln x}$。
公式：$a^b = e^{b \ln a}$
提示：幂指函数求导常用此转化，注意定义域 $x>0$。
步骤 2/4
目标：应用复合函数求导法则
令 $u(x)=\sin x \ln x$，则 $f(x)=e^{u(x)}$，$f'(x)=e^{u(x)} \cdot u'(x)$。
公式：$(e^u)' = e^u \cdot u'$
提示：复合函数求导，外层函数为指数函数。
步骤 3/4
目标：计算 $u'(x)$
$u(x)=\sin x \ln x$，使用乘积法则：$u'(x)=\cos x \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$。
公式：$(uv)' = u'v + uv'$，$(\sin x)'=\cos x$，$(\ln x)'=\frac{1}{x}$
提示：注意乘积法则的正确应用。
步骤 4/4
目标：代入并化简得到最终结果
将 $u'(x)$ 代入 $f'(x)=e^{\sin x \ln x} \cdot (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x})$，并将 $e^{\sin x \ln x}$ 还原为 $x^{\sin x}$。
公式：$f'(x)=x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$
提示：最终结果可保留指数形式或幂指形式。
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