kaoyan1basic 高等数学 第33题
📝 题目
## 第33题 (高等数学 - 填空题) $f(x)=x^{2}(x+1)^{2}(x+2)^{2} \cdots(x+n)^{2}$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ． ## 数学基础过关660题•数学一（习题册）
💡 答案解析
**答案**：$2[(n!)^2]$ **解析**： 步骤1：$f(x)=x^2 g(x)$，其中$g(x)=(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$。 步骤2：$f'(x)=2x g(x)+x^2 g'(x)$，$f''(x)=2g(x)+4x g'(x)+x^2 g''(x)$。 步骤3：代入$x=0$，得$f''(0)=2g(0)=2 \cdot (1^2 \cdot 2^2 \cdots n^2)=2(n!)^2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将f(x)分解为x^2乘以g(x)的形式
令g(x) = (x+1)^2 (x+2)^2 ... (x+n)^2，则f(x) = x^2 g(x)。
公式：f(x)=x^2 g(x)
提示：注意g(x)在x=0处非零，且g(0) = (1^2)(2^2)...(n^2) = (n!)^2。
步骤 2/3
目标：求f'(x)和f''(x)的表达式
利用乘积法则：f'(x) = 2x g(x) + x^2 g'(x)；f''(x) = 2g(x) + 4x g'(x) + x^2 g''(x)。
公式：f'(x)=2x g(x)+x^2 g'(x); f''(x)=2g(x)+4x g'(x)+x^2 g''(x)
提示：求导时注意x^2的导数与g(x)的乘积，以及x^2乘以g'(x)的导数。
步骤 3/3
目标：代入x=0计算f''(0)
将x=0代入f''(x)表达式，得到f''(0) = 2g(0) + 0 + 0 = 2g(0)。而g(0) = (1^2)(2^2)...(n^2) = (n!)^2，所以f''(0) = 2(n!)^2。
公式：f''(0)=2g(0)=2(n!)^2
提示：代入时注意含有x的项均为0，只需计算g(0)。
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