kaoyan1basic 高等数学 第34题
📝 题目
## 第34题 (高等数学 - 填空题) 设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \ln \left(1+t^{2}\right) \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$ $\_\_\_\_$ ， $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．$y=y(x)$ 在任意点处的曲率 $K=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{t}$；$\displaystyle -\frac{1+t^2}{t^3}$；$\displaystyle \frac{|t|}{(1+t^2)^{3/2}}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{t}{1+t^2}$，$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{1}{1+t^2}$，则$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{t}$。 步骤2：$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t}\right) / \frac{dx}{dt} = -\frac{1}{t^2} \cdot \frac{1+t^2}{t} = -\frac{1+t^2}{t^3}$。 步骤3：曲率$\displaystyle K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}} = \frac{|-\frac{1+t^2}{t^3}|}{(1+\frac{1}{t^2})^{3/2}} = \frac{1+t^2}{|t|^3} \cdot \frac{|t|^3}{(1+t^2)^{3/2}} = \frac{|t|}{(1+t^2)^{3/2}}$。 **难度**：★★★☆☆