kaoyan1basic 高等数学 第35题
📝 题目
## 第35题 (高等数学 - 填空题) 设 $y=y(x)$ 由方程 $y=\sin (x+y)$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{\sin(x+y)}{[1-\cos(x+y)]^3}$ **解析**： 步骤1：方程两边对$x$求导：$y'=\cos(x+y)(1+y')$，解得$\displaystyle y'=\frac{\cos(x+y)}{1-\cos(x+y)}$。 步骤2：再求导：$\displaystyle y''=\frac{-\sin(x+y)(1+y')(1-\cos(x+y)) - \cos(x+y) \cdot \sin(x+y)(1+y')}{(1-\cos(x+y))^2}$。 步骤3：代入$\displaystyle 1+y'=\frac{1}{1-\cos(x+y)}$，化简得$\displaystyle y''=-\frac{\sin(x+y)}{[1-\cos(x+y)]^3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求一阶导数 y'
方程两边对 x 求导，注意 y 是 x 的函数，得到 y' = cos(x+y)(1+y')，然后解出 y'。
公式：y' = cos(x+y)(1+y') ⇒ y' = cos(x+y)/(1-cos(x+y))
提示：隐函数求导时，对 y 的函数求导要乘以 y'。
步骤 2/3
目标：求二阶导数 y''
对 y' 的表达式再次对 x 求导，使用商的导数公式，并注意 (x+y) 的导数为 1+y'。
公式：y'' = [ -sin(x+y)(1+y')(1-cos(x+y)) - cos(x+y)·sin(x+y)(1+y') ] / (1-cos(x+y))^2
提示：求导时注意复合函数求导，sin(x+y) 的导数为 cos(x+y)(1+y')，cos(x+y) 的导数为 -sin(x+y)(1+y')。
步骤 3/3
目标：化简 y''
利用一阶导数结果，将 1+y' 替换为 1/(1-cos(x+y))，代入并化简。
公式：1+y' = 1/(1-cos(x+y))，代入得 y'' = -sin(x+y)/[1-cos(x+y)]^3
提示：化简时注意分子提取公因式，并利用 1+y' 的表达式简化。
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