kaoyan1basic 高等数学 第37题
📝 题目
## 第37题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)=\int_{0}^{x} \ln (1+\sin t) \mathrm{d} t$ ，则 $f^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x}$ **解析**： 步骤1：$f'(x)=\ln(1+\sin x)$。 步骤2：$\displaystyle f''(x)=\frac{\cos x}{1+\sin x}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求一阶导数 f'(x)
由微积分基本定理，若 f(x)=∫₀ˣ ln(1+sin t) dt，则 f'(x)=ln(1+sin x)。
公式：f'(x)=ln(1+sin x)
提示：注意积分上限是x，下限是常数，直接代入被积函数。
步骤 2/2
目标：求二阶导数 f''(x)
对 f'(x)=ln(1+sin x) 求导，使用链式法则：f''(x)=1/(1+sin x) * cos x = cos x/(1+sin x)。
公式：f''(x)=cos x/(1+sin x)
提示：导数公式：(ln u)'=u'/u，其中 u=1+sin x，u'=cos x。
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