kaoyan1basic 高等数学 第38题
📝 题目
## 第38题 (高等数学 - 填空题) 设函数 $y=y(x)$ 为由方程 $x^{2}+\int_{0}^{y}\left(2+\sin t^{2}\right) \mathrm{d} t=1$ 确定的隐函数，则 $\mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{2x}{2+\sin y^2} \mathrm{d}x$ **解析**： 步骤1：方程两边微分：$2x \mathrm{d}x + (2+\sin y^2) \mathrm{d}y = 0$。 步骤2：解得$\displaystyle \mathrm{d}y = -\frac{2x}{2+\sin y^2} \mathrm{d}x$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：对方程两边求微分
方程 $x^{2}+\int_{0}^{y}\left(2+\sin t^{2}\right) \mathrm{d} t=1$ 两边同时求微分，得到 $2x \mathrm{d}x + (2+\sin y^2) \mathrm{d}y = 0$。
公式：$\mathrm{d}\left(\int_{0}^{y} f(t) \mathrm{d}t\right) = f(y) \mathrm{d}y$
提示：注意对积分上限函数求微分时，结果等于被积函数在上限处的值乘以上限的微分。
步骤 2/2
目标：解出微分 dy
由 $2x \mathrm{d}x + (2+\sin y^2) \mathrm{d}y = 0$ 移项得 $(2+\sin y^2) \mathrm{d}y = -2x \mathrm{d}x$，因此 $\mathrm{d}y = -\frac{2x}{2+\sin y^2} \mathrm{d}x$。
公式：$\mathrm{d}y = -\frac{2x}{2+\sin y^2} \mathrm{d}x$
提示：注意分母 $2+\sin y^2$ 恒大于0，无需讨论。
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