kaoyan1basic 高等数学 第39题
📝 题目
## 第39题 (高等数学 - 填空题) 设 $y=y(x)$ 在 $(-1,1)$ 二阶可导，满足方程：$\displaystyle \left(1-x^{2}\right) \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}-x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+a^{2} y=0$ ，作变量替换 $x=\sin t$ 后，$y$ 作为 $t$ 的函数满足的方程是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{d^2 y}{dt^2} + a^2 y = 0$ **解析**： 步骤1：令$x=\sin t$，则$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} / \cos t$，$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{\cos t} \right) / \cos t = \frac{1}{\cos^2 t} \frac{d^2 y}{dt^2} + \frac{\sin t}{\cos^3 t} \frac{dy}{dt}$。 步骤2：代入原方程：$\displaystyle (1-\sin^2 t)\left( \frac{1}{\cos^2 t} \frac{d^2 y}{dt^2} + \frac{\sin t}{\cos^3 t} \frac{dy}{dt} \right) - \sin t \cdot \frac{1}{\cos t} \frac{dy}{dt} + a^2 y = 0$。 步骤3：化简得$\displaystyle \frac{d^2 y}{dt^2} + a^2 y = 0$。 **难度**：★★★☆☆