kaoyan1basic 高等数学 第40题
📝 题目
## 第40题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1-2 x}{1+3 x}, n \geqslant 2$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ． （－）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$(-1)^n (n-1)! (2^n - (-3)^n)$ **解析**： 步骤1：$f(x)=\ln(1-2x) - \ln(1+3x)$。 步骤2：$\ln(1-2x)$的$n$阶导：$\displaystyle \frac{(-2)^n (n-1)!}{(1-2x)^n}$，在$x=0$处为$(-2)^n (n-1)!$。 步骤3：$\ln(1+3x)$的$n$阶导：$\displaystyle \frac{(-1)^{n-1} 3^n (n-1)!}{(1+3x)^n}$，在$x=0$处为$(-1)^{n-1} 3^n (n-1)!$。 步骤4：$f^{(n)}(0)=(-2)^n (n-1)! - (-1)^{n-1} 3^n (n-1)! = (n-1)! [(-2)^n + (-1)^n 3^n] = (-1)^n (n-1)! (2^n - (-3)^n)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简函数表达式
利用对数性质，将 f(x) 分解为两个对数函数的差：f(x) = ln(1-2x) - ln(1+3x)。
公式：ln(a/b) = ln a - ln b
提示：注意定义域：1-2x>0且1+3x>0，即x<1/2且x>-1/3。
步骤 2/4
目标：求 ln(1-2x) 的 n 阶导数在 x=0 处的值
已知 ln(1+u) 的 n 阶导数为 (-1)^{n-1}(n-1)!/(1+u)^n，令 u=-2x，则 ln(1-2x) 的 n 阶导数为 (-2)^n (n-1)!/(1-2x)^n，在 x=0 处值为 (-2)^n (n-1)!。
公式：d^n/dx^n ln(1+u) = (-1)^{n-1}(n-1)!/(1+u)^n * (du/dx)^n
提示：注意链式法则：每次求导都会乘以 du/dx = -2。
步骤 3/4
目标：求 ln(1+3x) 的 n 阶导数在 x=0 处的值
令 u=3x，则 ln(1+3x) 的 n 阶导数为 3^n * (-1)^{n-1}(n-1)!/(1+3x)^n，在 x=0 处值为 (-1)^{n-1} 3^n (n-1)!。
公式：d^n/dx^n ln(1+3x) = 3^n * (-1)^{n-1}(n-1)!/(1+3x)^n
提示：注意符号：(-1)^{n-1} 来自 ln(1+u) 的公式。
步骤 4/4
目标：计算 f^{(n)}(0)
f^{(n)}(0) = (-2)^n (n-1)! - (-1)^{n-1} 3^n (n-1)! = (n-1)! [(-2)^n + (-1)^n 3^n] = (-1)^n (n-1)! (2^n - (-3)^n)。
公式：f^{(n)}(0) = (-1)^n (n-1)! (2^n - (-3)^n)
提示：化简时注意 (-1)^{n-1} = -(-1)^n，所以减去 (-1)^{n-1} 3^n 等于加上 (-1)^n 3^n。
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