kaoyan1basic 高等数学 第41题
📝 题目
## 第41题 (高等数学 - 填空题) 曲线 $x=\cos ^{3} t, y=\sin ^{3} t$ 在 $t=t_{0}$ 相应的点曲率最小，则在该点处的曲率半径为 $\_\_\_\_$。 （ ）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{3}{2}$ **解析**： 步骤1：$x'=-3\cos^2 t \sin t$，$y'=3\sin^2 t \cos t$，$\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}=-\tan t$。 步骤2：$\displaystyle y''=\frac{d}{dt}(-\tan t)/x' = -\sec^2 t / (-3\cos^2 t \sin t) = \frac{1}{3\cos^4 t \sin t}$。 步骤3：曲率$\displaystyle K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}} = \frac{1/(3\cos^4 t |\sin t|)}{(1+\tan^2 t)^{3/2}} = \frac{1}{3|\sin t| \cos^2 t}$。 步骤4：$K$最小即分母最大，$|\sin t| \cos^2 t$最大值为$\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}}$（$\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$时），故$\displaystyle K_{\min}=\frac{1}{3 \cdot \frac{2}{3\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，曲率半径$\displaystyle R=\frac{1}{K}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。 **难度**：★★★★☆