kaoyan1basic 高等数学 第42题
📝 题目
## 第42题 (高等数学 - 填空题) 设 $y=y(x)$ 是由方程 $2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1$ 确定的，则 $y=y(x)$ 的极值点是 $\_\_\_\_$。 （－）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$x=1$ **解析**： 步骤1：方程两边对$x$求导：$6y^2 y' - 4y y' + 2y + 2x y' - 2x = 0$。 步骤2：令$y'=0$，得$2y - 2x = 0$，即$y=x$。 步骤3：代入原方程：$2x^3 - 2x^2 + 2x^2 - x^2 = 1$，即$2x^3 - x^2 - 1 = 0$，解得$x=1$（唯一实根）。 步骤4：此时$y=1$，由隐函数二阶导可判断为极小值点，故极值点为$x=1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：对原方程两边关于x求导
对方程 $2y^3 - 2y^2 + 2xy - x^2 = 1$ 两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，得到 $6y^2 y' - 4y y' + 2y + 2x y' - 2x = 0$。
公式：6y^2 y' - 4y y' + 2y + 2x y' - 2x = 0
提示：求导时注意 $y$ 是 $x$ 的函数，使用链式法则。
步骤 2/4
目标：令导数为0，找出可能的极值点条件
令 $y' = 0$，代入求导后的方程，得到 $2y - 2x = 0$，即 $y = x$。
公式：2y - 2x = 0
提示：极值点处一阶导数为0。
步骤 3/4
目标：将y=x代入原方程求解x
将 $y = x$ 代入原方程 $2y^3 - 2y^2 + 2xy - x^2 = 1$，得 $2x^3 - 2x^2 + 2x^2 - x^2 = 1$，即 $2x^3 - x^2 - 1 = 0$。解得 $x = 1$（唯一实根）。
公式：2x^3 - x^2 - 1 = 0
提示：解三次方程时，尝试有理根 $x=1$。
步骤 4/4
目标：验证极值点并得出结论
此时 $y = 1$，通过隐函数二阶导可判断该点为极小值点，因此极值点为 $x = 1$。
提示：二阶导判断极值类型，但题目只要求极值点，故 $x=1$ 即为答案。
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