kaoyan1basic 高等数学 第43题

**答案**：单调增区间是$(-\infty,1)$和$(3,+\infty)$，单调减区间是$(1,3)$，极小值是$0$，凹区间是$(1,+\infty)$，凸区间是$(-\infty,1)$。 **解析**： 步骤1：求导$\displaystyle y'=\frac{2(x-3)\cdot4(x-1)-4(x-3)^2}{16(x-1)^2}=\frac{(x-3)(x-1)}{4(x-1)^2}=\frac{x-3}{4(x-1)}$，定义域$x\neq1$。 步骤2：令$y'=0$得$x=3$；$x<1$时$y'>0$，$13$时$y'>0$。 步骤3：单调增区间$(-\infty,1)$和$(3,+\infty)$，单调减区间$(1,3)$，极小值$y(3)=0$。 步骤4：求二阶导$\displaystyle y''=\frac{1\cdot4(x-1)-4(x-3)}{16(x-1)^2}=\frac{1}{2(x-1)^2}>0$，故凹区间$(1,+\infty)$，凸区间$(-\infty,1)$。 **难度**：★★☆☆☆