kaoyan1basic 高等数学 第44题
📝 题目
## 第44题 (高等数学 - 填空题) 设 $(1,3)$ 是曲线 $y=x^{3}+a x^{2}+b x+14$ 的拐点，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=-3$，$b=-9$。 **解析**： 步骤1：$y'=3x^2+2ax+b$，$y''=6x+2a$。 步骤2：拐点处$y''=0$，即$6\cdot1+2a=0$，得$a=-3$。 步骤3：点$(1,3)$在曲线上，$1-3+ b+14=3$，得$b=-9$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求一阶和二阶导数
对 y = x^3 + a x^2 + b x + 14 求导，得 y' = 3x^2 + 2a x + b，y'' = 6x + 2a。
公式：y' = 3x^2 + 2ax + b, y'' = 6x + 2a
提示：幂函数求导公式：d/dx (x^n) = n x^(n-1)。
步骤 2/3
目标：利用拐点条件求 a
拐点处二阶导数为零，且点 (1,3) 是拐点，代入 x=1 得 y''(1)=6*1+2a=0，解得 a = -3。
公式：y''(1)=0 ⇒ 6+2a=0 ⇒ a=-3
提示：拐点必要条件：二阶导数为零。
步骤 3/3
目标：利用点在曲线上求 b
将点 (1,3) 代入原曲线方程：1^3 + a*1^2 + b*1 + 14 = 3，代入 a=-3 得 1 - 3 + b + 14 = 3，解得 b = -9。
公式：1 + a + b + 14 = 3, a=-3 ⇒ b=-9
提示：代入计算时注意符号。
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