kaoyan1basic 高等数学 第45题
📝 题目
## 第45题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)=3 x^{2}+A x^{-3}(x>0), A$ 为正常数，则 $A$ 至少为 $\_\_\_\_$时，有 $f(x) \geqslant 20(x>0)$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$A=4$。 **解析**： 步骤1：$f(x)=3x^2+Ax^{-3}$，求导$f'(x)=6x-3Ax^{-4}=0$得$\displaystyle x^5=\frac{A}{2}$，即$\displaystyle x=\left(\frac{A}{2}\right)^{1/5}$。 步骤2：最小值$\displaystyle f_{\min}=3\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}+A\left(\frac{A}{2}\right)^{-3/5}=3\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}+A^{2/5}\cdot2^{3/5}=5\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}$。 步骤3：令$\displaystyle 5\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}\geq20$，得$\displaystyle \left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}\geq4$，即$\displaystyle \frac{A}{2}\geq4^{5/2}=32$，$A\geq64$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求导并找到极值点
对 $f(x)=3x^2+Ax^{-3}$ 求导，得 $f'(x)=6x-3Ax^{-4}$。令 $f'(x)=0$，解得 $6x=3Ax^{-4}$，即 $x^5=\frac{A}{2}$，所以 $x=\left(\frac{A}{2}\right)^{1/5}$。
公式：$f'(x)=6x-3Ax^{-4}=0$
提示：注意 $x>0$，导数零点唯一。
步骤 2/3
目标：计算最小值
将极值点代入 $f(x)$，得最小值 $f_{\min}=3\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}+A\left(\frac{A}{2}\right)^{-3/5}=3\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}+A^{2/5}\cdot2^{3/5}=5\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}$。
公式：$f_{\min}=5\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}$
提示：合并同类项时注意指数运算。
步骤 3/3
目标：建立不等式并求解A
由 $f(x)\geq20$ 恒成立，得 $f_{\min}\geq20$，即 $5\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}\geq20$。化简得 $\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}\geq4$，两边5/2次方得 $\frac{A}{2}\geq4^{5/2}=32$，所以 $A\geq64$。因此 $A$ 至少为64。
公式：$5\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}\geq20$
提示：注意指数运算：$4^{5/2}=(4^{1/2})^5=2^5=32$。
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