kaoyan1basic 高等数学 第46题
📝 题目
## 第46题 (高等数学 - 填空题) 函数 $f(x)=\left|4 x^{3}-18 x^{2}+27\right|$ 在 $[0,2]$ 上的最小值等于 $\_\_\_\_$ ，最大值等于 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：最小值等于$0$，最大值等于$27$。 **解析**： 步骤1：令$g(x)=4x^3-18x^2+27$，$g'(x)=12x^2-36x=12x(x-3)=0$得$x=0$或$x=3$（舍）。 步骤2：$g(0)=27$，$g(2)=32-72+27=-13$，$g(x)=0$解得$\displaystyle x=\frac{3}{2}$。 步骤3：$f(x)=|g(x)|$，在$[0,2]$上，$f(0)=27$，$f(2)=13$，$f(1.5)=0$，故最小值$0$，最大值$27$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义辅助函数并求导
令 $g(x)=4x^3-18x^2+27$，求导得 $g'(x)=12x^2-36x=12x(x-3)$。
公式：g'(x)=12x(x-3)
提示：注意求导后因式分解，找出临界点。
步骤 2/5
目标：求g(x)在[0,2]上的极值点和端点值
令 $g'(x)=0$ 得 $x=0$ 或 $x=3$（舍去）。计算 $g(0)=27$，$g(2)=32-72+27=-13$。
公式：g(0)=27, g(2)=-13
提示：注意区间为[0,2]，x=3不在区间内。
步骤 3/5
目标：求g(x)的零点
解方程 $g(x)=0$，即 $4x^3-18x^2+27=0$。因式分解得 $(2x-3)(2x^2-6x-9)=0$，在[0,2]内解得 $x=\frac{3}{2}$。
公式：4x^3-18x^2+27=(2x-3)(2x^2-6x-9)
提示：试根法：x=1.5时g=0。
步骤 4/5
目标：计算f(x)在各关键点的值
f(x)=|g(x)|，计算：f(0)=|27|=27，f(2)=|-13|=13，f(1.5)=|0|=0。
公式：f(0)=27, f(2)=13, f(1.5)=0
提示：绝对值函数的最小值可能出现在零点。
步骤 5/5
目标：比较得出最值
比较f(0)=27，f(2)=13，f(1.5)=0，得最小值0，最大值27。
提示：注意最大值在端点取得。
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