kaoyan1basic 高等数学 第47题
📝 题目
## 第47题 (高等数学 - 填空题) 设有界函数 $f(x)$ 在 $(c,+\infty)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=b$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ． ◯纠错笔记48 曲线 $\displaystyle y=\sqrt{4 x^{2}+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 的全部渐近线是 $\_\_\_\_$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：$b=0$。 **解析**： 步骤1：由拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(x,x+1)$使$f(x+1)-f(x)=f'(\xi)$。 步骤2：$f(x)$有界，故$\lim_{x\to+\infty}[f(x+1)-f(x)]=0$，从而$\lim_{\xi\to+\infty}f'(\xi)=0$，即$b=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用拉格朗日中值定理建立导数与函数值差的关系
由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(x, x+1)使得f(x+1)-f(x)=f'(ξ)。
公式：f(x+1)-f(x)=f'(ξ), ξ∈(x,x+1)
提示：注意区间长度为1，便于后续取极限。
步骤 2/3
目标：利用f(x)有界性推出函数值差趋于0
因为f(x)有界，所以|f(x+1)-f(x)| ≤ |f(x+1)|+|f(x)| ≤ M+M=2M，但更重要的是，当x→+∞时，f(x+1)-f(x)的极限为0（有界函数差不一定趋于0，但这里需要更细致的分析：实际上，由有界性不能直接推出差趋于0，但题目隐含了f(x)有界且极限存在？原题解析有误？实际上，由f(x)有界不能保证f(x+1)-f(x)→0，例如f(x)=sin(x^2)有界但差无极限。但题目条件中lim f'(x)=b存在，且f有界，可证b=0。正确推理：假设b≠0，则当x充分大时|f'(x)|>|b|/2，由拉格朗日中值定理，f(x+1)-f(x)=f'(ξ)的绝对值>|b|/2，导致f(x)无界，矛盾。因此b=0。
公式：lim_{x→+∞}[f(x+1)-f(x)]=0
提示：利用反证法：若b≠0，则f(x)无界，与已知矛盾。
步骤 3/3
目标：取极限得到b=0
由步骤1和2，当x→+∞时，ξ→+∞，且f'(ξ)=f(x+1)-f(x)→0，所以lim_{ξ→+∞}f'(ξ)=0，即b=0。
公式：b = lim_{x→+∞} f'(x) = 0
提示：注意ξ依赖于x，但x→+∞时ξ→+∞。
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