kaoyan1basic 高等数学 第49题
📝 题目
## 第49题 (高等数学 - 填空题) 设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x$。 **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{e^x-1}=2$，且分母$\to0$，得$f(0)=0$。 步骤2：$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\cdot\frac{x}{e^x-1}=2\cdot1=2$。 步骤3：法线斜率$\displaystyle -\frac{1}{2}$，过$(0,0)$，法线方程$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定f(0)的值
由极限lim_{x→0} f(x)/(e^x-1)=2，分母e^x-1→0，因此分子也必须趋于0，即f(0)=0。
公式：lim_{x→0} f(x)=0
提示：利用极限存在的必要条件：分母趋于0时分子必须趋于0。
步骤 2/3
目标：计算f'(0)
f'(0)=lim_{x→0} (f(x)-f(0))/(x-0)=lim_{x→0} f(x)/x。将原极限变形：lim_{x→0} f(x)/(e^x-1)=lim_{x→0} [f(x)/x] * [x/(e^x-1)]=2。由于lim_{x→0} x/(e^x-1)=1，所以lim_{x→0} f(x)/x=2，即f'(0)=2。
公式：f'(0)=2
提示：利用极限乘法法则和重要极限lim_{x→0} x/(e^x-1)=1。
步骤 3/3
目标：求法线方程
切线斜率为f'(0)=2，法线斜率为-1/2。法线过点(0,0)，方程为y = -1/2 x。
公式：y = -1/2 x
提示：法线斜率与切线斜率互为负倒数。
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