kaoyan1basic 高等数学 第50题
📝 题目
## 第50题 (高等数学 - 填空题) 设 $y=y(x)$ 二阶可导，且 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(4-y) y^{\beta}(\beta>0)$ ，若 $y=y(x)$ 的一个拐点是 $\left(x_{0}\right.$ ， $3)$ ，则 $\beta=$ $\_\_\_\_$ ． ## □ 纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\beta=1$。 **解析**： 步骤1：$y'=(4-y)y^\beta$，$y''=(-y')y^\beta+(4-y)\beta y^{\beta-1}y'=y'[ -y^\beta+\beta(4-y)y^{\beta-1} ]$。 步骤2：拐点处$y''=0$且$y=3$，代入得$y'[ -3^\beta+\beta(4-3)3^{\beta-1} ]=0$，$y'\neq0$，故$-3^\beta+\beta\cdot3^{\beta-1}=0$，即$3^{\beta-1}(\beta-3)=0$，得$\beta=3$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求二阶导数表达式
已知 y' = (4-y)y^β，对 x 求导得 y'' = -y' y^β + (4-y)β y^{β-1} y' = y'[ -y^β + β(4-y)y^{β-1} ]。
公式：y'' = y'[ -y^β + β(4-y)y^{β-1} ]
提示：注意 y 是 x 的函数，求导时使用链式法则。
步骤 2/3
目标：利用拐点条件列方程
拐点处 y''=0 且 y=3，代入得 y'[ -3^β + β(4-3)3^{β-1} ] = 0。由于 y'≠0（否则 y 为常数，不可能有拐点），故 -3^β + β·3^{β-1} = 0。
公式：-3^β + β·3^{β-1} = 0
提示：拐点处二阶导数为零，且一阶导数不为零。
步骤 3/3
目标：解方程求 β
方程化为 3^{β-1}(β - 3) = 0，因为 3^{β-1} > 0，所以 β - 3 = 0，解得 β = 3。
公式：3^{β-1}(β-3)=0 ⇒ β=3
提示：指数函数恒正，直接令括号内为零。
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