kaoyan1basic 高等数学 第51题
📝 题目
## 第51题 (高等数学 - 填空题) $\int f^{\prime}\left(\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x=-(1+x) \mathrm{e}^{-x}+C, f(1)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$f(x)=x\ln x$。 **解析**： 步骤1：对等式两边求导：$f'(e^x)=-(1+x)e^{-x}$的导数？原式$\int f'(e^x)dx=-(1+x)e^{-x}+C$，两边求导得$f'(e^x)=-(e^{-x}-(1+x)e^{-x})=xe^{-x}$。 步骤2：令$t=e^x$，则$x=\ln t$，$\displaystyle f'(t)=\frac{\ln t}{t}$，积分得$\displaystyle f(t)=\int\frac{\ln t}{t}dt=\frac{1}{2}(\ln t)^2+C$。 步骤3：由$f(1)=0$得$C=0$，故$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(\ln x)^2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：对已知等式两边求导，得到 f'(e^x) 的表达式
已知 ∫f'(e^x) dx = -(1+x)e^{-x} + C，两边对 x 求导，得 f'(e^x) = d/dx[-(1+x)e^{-x}] = -[e^{-x} - (1+x)e^{-x}] = xe^{-x}。
公式：d/dx ∫g(x) dx = g(x)
提示：注意常数项求导后为0。
步骤 2/5
目标：变量代换，令 t = e^x，将 f'(e^x) 转化为 f'(t)
令 t = e^x，则 x = ln t，代入 f'(e^x) = xe^{-x} 得 f'(t) = (ln t) * (1/t) = (ln t)/t。
公式：t = e^x, x = ln t, e^{-x} = 1/t
提示：代换后注意自变量统一为 t。
步骤 3/5
目标：积分求 f(t)
对 f'(t) = (ln t)/t 积分：f(t) = ∫ (ln t)/t dt。令 u = ln t，则 du = (1/t) dt，积分变为 ∫ u du = (1/2)u^2 + C = (1/2)(ln t)^2 + C。
公式：∫ u du = (1/2)u^2 + C
提示：使用换元积分法，注意积分常数。
步骤 4/5
目标：利用初始条件确定常数 C
由 f(1)=0，代入 t=1 得 f(1) = (1/2)(ln 1)^2 + C = 0 + C = 0，所以 C=0。因此 f(t) = (1/2)(ln t)^2。
公式：ln 1 = 0
提示：代入时注意 ln 1 = 0。
步骤 5/5
目标：将变量换回 x
将 t 换回 x，得 f(x) = (1/2)(ln x)^2。
提示：最终结果中自变量为 x。
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