kaoyan1basic 高等数学 第52题
📝 题目
## 第52题 (高等数学 - 未知) I=$\displaystyle \int \sqrt{\frac{3-2 x}{3+2 x}} \mathrm{~d} x=$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\sqrt{9-4x^2}+3\arcsin\frac{2x}{3}+C$。 **解析**： 步骤1：令$\displaystyle x=\frac{3}{2}\sin t$，则$\displaystyle dx=\frac{3}{2}\cos t dt$，$\sqrt{3-2x}=\sqrt{3-3\sin t}=\sqrt{3(1-\sin t)}$，$\sqrt{3+2x}=\sqrt{3+3\sin t}=\sqrt{3(1+\sin t)}$。 步骤2：原式$\displaystyle =\int\sqrt{\frac{1-\sin t}{1+\sin t}}\cdot\frac{3}{2}\cos t dt=\frac{3}{2}\int\frac{1-\sin t}{\cos t}\cos t dt=\frac{3}{2}\int(1-\sin t)dt=\frac{3}{2}(t+\cos t)+C$。 步骤3：回代$\displaystyle t=\arcsin\frac{2x}{3}$，$\displaystyle \cos t=\sqrt{1-\frac{4x^2}{9}}=\frac{\sqrt{9-4x^2}}{3}$，得$\displaystyle \frac{3}{2}\arcsin\frac{2x}{3}+\frac{1}{2}\sqrt{9-4x^2}+C$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：通过三角代换简化被积函数
令 x = (3/2) sin t，则 dx = (3/2) cos t dt，且 √(3-2x) = √(3-3 sin t) = √3 √(1-sin t)，√(3+2x) = √(3+3 sin t) = √3 √(1+sin t)。
公式：x = (3/2) sin t, dx = (3/2) cos t dt
提示：选择 sin t 代换是因为根号内形式类似 1±sin t，便于化简。
步骤 2/3
目标：化简被积函数并积分
原积分 I = ∫ √((1-sin t)/(1+sin t)) * (3/2) cos t dt = (3/2) ∫ (1-sin t)/cos t * cos t dt = (3/2) ∫ (1-sin t) dt = (3/2)(t + cos t) + C。
公式：√((1-sin t)/(1+sin t)) = (1-sin t)/|cos t|，此处 cos t ≥ 0，故直接等于 (1-sin t)/cos t
提示：注意 cos t 的符号，由 t 的范围确定，此处取正。
步骤 3/3
目标：回代变量得到最终结果
由 x = (3/2) sin t 得 t = arcsin(2x/3)，cos t = √(1 - (2x/3)^2) = √(9-4x^2)/3。代入得 I = (3/2) arcsin(2x/3) + (3/2)*(√(9-4x^2)/3) + C = (3/2) arcsin(2x/3) + (1/2) √(9-4x^2) + C。
公式：t = arcsin(2x/3), cos t = √(9-4x^2)/3
提示：回代时注意常数系数的正确计算。
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