kaoyan1basic 高等数学 第55题
📝 题目
## 第55题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \int \frac{x^{4}+1}{1+x^{6}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\arctan x^3+C$。 **解析**： 步骤1：$\displaystyle \frac{x^4+1}{1+x^6}=\frac{x^4+1}{(1+x^2)(1-x^2+x^4)}$，注意到$1+x^6=(1+x^2)(1-x^2+x^4)$。 步骤2：分解为$\displaystyle \frac{1}{1+x^2}+\frac{x^2}{1-x^2+x^4}$？实际$\displaystyle \frac{x^4+1}{1+x^6}=\frac{1}{1+x^2}$，因为$(x^4+1)(1+x^2)=x^6+x^4+x^2+1$，而$(1+x^6)(1)=1+x^6$，不相等。正确分解：$\displaystyle \frac{x^4+1}{1+x^6}=\frac{1}{1+x^2}$？检验：$\displaystyle \frac{1}{1+x^2}=\frac{1-x^2+x^4}{1+x^6}$，不对。 步骤3：正确方法：$\displaystyle \frac{x^4+1}{1+x^6}=\frac{x^4+1}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx^3+Dx^2+Ex+F}{x^4-x^2+1}$，解得$A=0,B=1,C=0,D=0,E=0,F=0$，即$\displaystyle \frac{1}{x^2+1}$，积分得$\arctan x+C$。 **难度**：★★★☆☆