kaoyan1basic 高等数学 第56题
📝 题目
## 第56题 (高等数学 - 填空题) $\displaystyle I=\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\ln|\sin x+\cos x|+C$。 **解析**： 步骤1：$\displaystyle \int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\frac{1}{2}\int\frac{(\sin x+\cos x)+(\sin x-\cos x)}{\sin x+\cos x}dx$。 步骤2：$\displaystyle =\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\ln|\sin x+\cos x|+C$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将被积函数拆分为两个部分
将分子sin x改写为(1/2)[(sin x+cos x)+(sin x-cos x)]，从而将积分拆分为两个积分之和。
公式：sin x = 1/2[(sin x+cos x)+(sin x-cos x)]
提示：这种拆分技巧常用于处理形如sin x/(sin x+cos x)的积分，通过凑出分母的导数来简化。
步骤 2/3
目标：计算第一个积分
第一个积分为∫ dx = x，乘以系数1/2得(1/2)x。
公式：∫ dx = x
提示：注意积分常数C最后再加。
步骤 3/3
目标：计算第二个积分
第二个积分为∫ (sin x-cos x)/(sin x+cos x) dx，注意到分子是分母的导数（负号），因此积分结果为ln|sin x+cos x|，再乘以系数-1/2。
公式：∫ (sin x-cos x)/(sin x+cos x) dx = -ln|sin x+cos x| + C
提示：因为d(sin x+cos x) = (cos x - sin x)dx = -(sin x-cos x)dx，所以∫ (sin x-cos x)/(sin x+cos x) dx = -∫ d(sin x+cos x)/(sin x+cos x) = -ln|sin x+cos x|。
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