kaoyan1basic 高等数学 第57题
📝 题目
## 第57题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{4}+1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sqrt{x^4+1}}{x^2}\right|+C$。 **解析**： 步骤1：令$t=x^2$，则$dt=2x dx$，原式$\displaystyle =\int\frac{dx}{x\sqrt{x^4+1}}=\int\frac{x dx}{x^2\sqrt{x^4+1}}=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t\sqrt{t^2+1}}$。 步骤2：令$u=\sqrt{t^2+1}$，则$t^2=u^2-1$，$\displaystyle dt=\frac{u}{t}du$，原式$\displaystyle =\frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2-1}=\frac{1}{4}\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right|+C$。 步骤3：回代$u=\sqrt{x^4+1}$，得$\displaystyle -\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sqrt{x^4+1}}{x^2}\right|+C$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：换元简化积分
令 t = x^2，则 dt = 2x dx，原积分化为 ∫ dx/(x√(x^4+1)) = ∫ x dx/(x^2√(x^4+1)) = (1/2) ∫ dt/(t√(t^2+1))。
公式：t = x^2, dt = 2x dx
提示：注意将 dx 转化为 dt 时，分子需凑出 x dx。
步骤 2/3
目标：再次换元化简被积函数
令 u = √(t^2+1)，则 t^2 = u^2 - 1，dt = (u/t) du，代入得 (1/2) ∫ dt/(t√(t^2+1)) = (1/2) ∫ du/(u^2-1)。
公式：u = √(t^2+1), dt = u/t du
提示：注意 dt 的表达式需要从 u 对 t 求导得到。
步骤 3/3
目标：积分并回代
计算 ∫ du/(u^2-1) = (1/2) ln|(u-1)/(u+1)| + C，因此原积分 = (1/4) ln|(u-1)/(u+1)| + C。回代 u = √(x^4+1)，并化简得 -1/2 ln|(1+√(x^4+1))/x^2| + C。
公式：∫ du/(u^2-1) = (1/2) ln|(u-1)/(u+1)| + C
提示：回代后注意利用对数性质化简，最终结果与答案一致。
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