kaoyan1basic 高等数学 第58题
📝 题目
## 第58题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)=x^{2}-x \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x+2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。 ✓ 纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f(x)=x^2-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}$。 **解析**： 步骤1：设$A=\int_0^2 f(x)dx$，$B=\int_0^1 f(x)dx$，则$f(x)=x^2-Ax+2B$。 步骤2：两边在$[0,2]$积分：$\displaystyle A=\int_0^2(x^2-Ax+2B)dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{A}{2}x^2+2Bx\right]_0^2=\frac{8}{3}-2A+4B$，即$3A=8-6A+12B$，得$9A-12B=8$。 步骤3：两边在$[0,1]$积分：$\displaystyle B=\int_0^1(x^2-Ax+2B)dx=\frac{1}{3}-\frac{A}{2}+2B$，得$\displaystyle \frac{A}{2}=B+\frac{1}{3}$，即$\displaystyle A=2B+\frac{2}{3}$。 步骤4：联立解得$\displaystyle A=\frac{4}{3}$，$\displaystyle B=\frac{1}{3}$，故$\displaystyle f(x)=x^2-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设未知积分常数
设 A = ∫₀² f(x) dx，B = ∫₀¹ f(x) dx，则 f(x) = x² - A x + 2B。
公式：f(x)=x^2 - A x + 2B
提示：将定积分视为常数，简化表达式。
步骤 2/5
目标：在 [0,2] 上积分建立方程
对 f(x) 在 [0,2] 上积分：A = ∫₀² (x² - A x + 2B) dx = [x³/3 - (A/2)x² + 2Bx]₀² = 8/3 - 2A + 4B。整理得 3A = 8 - 6A + 12B，即 9A - 12B = 8。
公式：A = 8/3 - 2A + 4B ⇒ 9A - 12B = 8
提示：注意积分上下限，正确计算定积分。
步骤 3/5
目标：在 [0,1] 上积分建立方程
对 f(x) 在 [0,1] 上积分：B = ∫₀¹ (x² - A x + 2B) dx = 1/3 - A/2 + 2B。整理得 A/2 = B + 1/3，即 A = 2B + 2/3。
公式：B = 1/3 - A/2 + 2B ⇒ A = 2B + 2/3
提示：注意移项时符号变化。
步骤 4/5
目标：解方程组求 A 和 B
联立方程：9A - 12B = 8 和 A = 2B + 2/3。代入得 9(2B + 2/3) - 12B = 8 ⇒ 18B + 6 - 12B = 8 ⇒ 6B = 2 ⇒ B = 1/3。代入得 A = 2*(1/3) + 2/3 = 4/3。
公式：A = 4/3, B = 1/3
提示：解线性方程组时注意计算准确性。
步骤 5/5
目标：写出 f(x) 表达式
将 A 和 B 代入 f(x) = x² - A x + 2B，得 f(x) = x² - (4/3)x + 2*(1/3) = x² - (4/3)x + 2/3。
公式：f(x)=x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}
提示：最终结果化简为最简形式。
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