kaoyan1basic 高等数学 第59题
📝 题目
## 第59题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 有一阶导数且满足 $\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t=f(x)+x \sin x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。 ## （J）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$f(x)=x\sin x - x\cos x + C$（其中$C$为任意常数） **解析**：步骤1：令$u=tx$，则$\displaystyle \int_0^1 f(tx)dt = \frac{1}{x}\int_0^x f(u)du$，代入原式得$\displaystyle \frac{1}{x}\int_0^x f(u)du = f(x)+x\sin x$。 步骤2：两边乘以$x$得$\int_0^x f(u)du = xf(x)+x^2\sin x$，两边对$x$求导得$f(x)=f(x)+xf'(x)+2x\sin x+x^2\cos x$，化简得$f'(x)=-2\sin x - x\cos x$。 步骤3：积分得$f(x)=2\cos x - x\sin x - \cos x + C = \cos x - x\sin x + C$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简积分表达式
令 u = tx，则当 t 从 0 到 1 时，u 从 0 到 x，且 dt = du/x，因此 ∫₀¹ f(tx) dt = (1/x) ∫₀ˣ f(u) du。代入原方程得 (1/x) ∫₀ˣ f(u) du = f(x) + x sin x。
公式：∫₀¹ f(tx) dt = (1/x) ∫₀ˣ f(u) du
提示：注意变量替换后积分限的变化。
步骤 2/3
目标：转化为微分方程
两边乘以 x 得 ∫₀ˣ f(u) du = x f(x) + x² sin x。两边对 x 求导，左边导数为 f(x)，右边导数为 f(x) + x f'(x) + 2x sin x + x² cos x。化简得 f(x) = f(x) + x f'(x) + 2x sin x + x² cos x，即 x f'(x) = -2x sin x - x² cos x。当 x ≠ 0 时，两边除以 x 得 f'(x) = -2 sin x - x cos x。
公式：d/dx ∫₀ˣ f(u) du = f(x)
提示：求导时注意乘积法则。
步骤 3/3
目标：积分求解 f(x)
对 f'(x) = -2 sin x - x cos x 积分：∫ f'(x) dx = ∫ (-2 sin x - x cos x) dx。计算得 f(x) = 2 cos x - ∫ x cos x dx。对 ∫ x cos x dx 分部积分：令 u = x, dv = cos x dx，则 du = dx, v = sin x，所以 ∫ x cos x dx = x sin x - ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C₁。因此 f(x) = 2 cos x - (x sin x + cos x + C₁) = cos x - x sin x + C，其中 C = -C₁ 为任意常数。
公式：∫ x cos x dx = x sin x + cos x + C
提示：分部积分时注意符号。
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