kaoyan1basic 高等数学 第60题
📝 题目
## 第60题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \int_{0}^{2}\left(x \sqrt{2 x-x^{2}}-\sqrt{\left(1-\frac{1}{4} x^{2}\right)^{3}}\right) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ **解析**：步骤1：将积分拆分为$I_1=\int_0^2 x\sqrt{2x-x^2}dx$和$\displaystyle I_2=\int_0^2 \sqrt{(1-\frac{1}{4}x^2)^3}dx$。 步骤2：对于$I_1$，令$x=1+\sin\theta$，则$dx=\cos\theta d\theta$，当$x=0$时$\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{2}$，$x=2$时$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$，$\sqrt{2x-x^2}=\cos\theta$，则$\displaystyle I_1=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1+\sin\theta)\cos^2\theta d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta d\theta = \frac{\pi}{2}$。 步骤3：对于$I_2$，令$x=2\sin\phi$，则$dx=2\cos\phi d\phi$，当$x=0$时$\phi=0$，$x=2$时$\displaystyle \phi=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \sqrt{1-\frac{1}{4}x^2}=\cos\phi$，则$\displaystyle I_2=\int_0^{\pi/2} 2\cos^4\phi d\phi = 2\cdot\frac{3\pi}{16}=\frac{3\pi}{8}$。 步骤4：原积分$\displaystyle I=I_1-I_2=\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{8}=\frac{\pi}{8}$。 **难度**：★★★☆☆